Question

13．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n和S_n满足：4S_n=（a_n+1）²（n=1，2，3…），
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵4S_n=（a_n+1）²，①
∴4S_n-1=（a_n-1+1）²（n≥2），②
①-②得
4（S_n-S_n-1）=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²．
∴4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²．
化简得（a_n+a_n-1）•（a_n-a_n-1-2）=0．
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2（n≥2）．
∴{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1．
（2）b_n=$\frac{1}{an•an+1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）．
∴T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．