Question

11．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-$\frac{3}{4}$，0）成中心对称图形，且满足$f（x）=-f（x+\frac{3}{2}）$，f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． -1
• D． -2

Answer 1

分析 由题意可得函数的周期为3且为偶函数，可得f（1）+f（2）+f（3）=0，进而可得f（1）+f（2）+…+f（2015）=f（1）+f（2），代值计算可得．

解答 解：由题意可得$f（x）=-f（x+\frac{3}{2}）$=-[-f（x+3）]=f（x+3），
∴函数f（x）的周期为3，
又∵函数f（x）的图象关于点（-$\frac{3}{4}$，0）成中心对称，
∴f（x）=-f（-$\frac{3}{2}$-x），结合$f（x）=-f（x+\frac{3}{2}）$可得f（-$\frac{3}{2}$-x）=f（x+$\frac{3}{2}$），
令t=x+$\frac{3}{2}$，则f（-t）=f（t），即函数f（x）为偶函数，
∴f（1）=f（-1）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）=f（1）+f（-1）+f（0）=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=671×0+f（2014）+f（2015）
=f（1）+f（2）=2
故选：B．

点评 本题考查函数的周期性和奇偶性，涉及函数图象的对称性，属中档题．