Question

11．已知函数f（x）=2cos（x+$\frac{π}{3}$）[sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{3}$）]．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若对任意x∈[0，$\frac{π}{6}$]，[f（x）+$\sqrt{3}$]-2m=0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期和值域；
（2）对任意x∈[0，$\frac{π}{6}$]，[f（x）+$\sqrt{3}$]-2m=0成立，等价于sin（2x+$\frac{π}{3}$）=m；求出x∈[0，$\frac{π}{6}$]时sin（2x+$\frac{π}{3}$）的值域即可．

解答 解：（1）函数f（x）=2cos（x+$\frac{π}{3}$）[sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{3}$）]
=2cos（x+$\frac{π}{3}$）sin（x+$\frac{π}{3}$）-2$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{π}{3}$）
=sin（2x+$\frac{2π}{3}$）-2$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos（2x+\frac{2π}{3}）}{2}$
=sin（2x+$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$
=2sin[（2x+$\frac{2π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]-$\sqrt{3}$
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，
∴函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{2}$=π；
又-1≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴-2-$\sqrt{3}$≤2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$≤2-$\sqrt{3}$，
即f（x）的值域为[-2-$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$]；
（2）对任意x∈[0，$\frac{π}{6}$]，[f（x）+$\sqrt{3}$]-2m=0成立，
∴[2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$]-2m=0，
即sin（2x+$\frac{π}{3}$）=m；
由x∈[0，$\frac{π}{6}$]，得2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴实数m的取值范围是m∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是中档题．