【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,
,
,
.
(1)求证:;
(2)若为线段
上的一点,
,
,
,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)设交
于点
,证明
平面
内的两条相交直线即可得到线面垂直,再由线面垂直的性质,可证明线线垂直;
(2)找到三条两两互相垂直的直线,以为原点,以射线
为
轴,
轴,
轴正半轴建立空间直角坐标系,求出平面
的法向量
,平面
的法向量
,求法向量夹角的余弦值,即可求得答案.
设交
于点
,
,
,所以
,所以
,在
中,
且
,得
,即
,
又平面平面
,平面
平面
,
平面
,
所以平面
,
又平面
,所以
(2)平面平面
,平面
平面
,
平面
,
,所以
平面
,
以为原点,以射线
为
轴,
轴,
轴正半轴建立空间直角坐标系,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,则
,
取,得
设平面的法向量为
,
则,取
,得
,
设所求角为,则
,
所求的锐二面角余弦值为
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某县畜牧技术员张三和李四年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查,张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量
(单位:万只)与相应年份
(序号)的数据表和散点图(如图所示),根据散点图,发现y与x有较强的线性相关关系.
年份序号 | |||||||||
年养殖山羊 |
(1)根据表中的数据和所给统计量,求关于
的线性回归方程(参考统计量:
,
;
(2)李四提供了该县山羊养殖场的个数(单位:个)关于
的回归方程
.
试估计:①该县第一年养殖山羊多少万只?
②到第几年,该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了?
附:回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
,
为参数),曲线
的参数方程为
(
为参数),直线
与曲线
交于
,
两点.
(1)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线
的极坐标方程;
(2)若,点
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:,整理得到如下频率分布直方图:
(1)若该样本中男生有55人,试估计该学校高三年级女生总人数;
(2)若规定小于60分为“不及格”,从该学校高三年级学生中随机抽取一人,估计该学生不及格的概率;
(3)若规定分数在为“良好”,
为“优秀”.用频率估计概率,从该校高三年级随机抽取三人,记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X,求X的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
(
为参数),将曲线
上所有点横坐标缩短为原来的
,纵坐标不变,得到曲线
,过点
且倾斜角为
的直线
与曲线
交于
、
两点.
(1)求曲线的参数方程和
的取值范围;
(2)求中点
的轨迹的参数方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某服装加工厂为了提高市场竞争力,对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案:甲方案是引进一台新的生产设备,需一次性投资1000万元,年生产能力为30万件;乙方案是将原来的设备进行升级改造,需一次性投入700万元,年生产能力为20万件.根据市场调查与预测,该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示,无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备,设备的使用年限均为6年,该产品的销售利润为15元/件(不含一次性设备改进投资费用).
(1)根据年销售量的频率分布直方图,估算年销量的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)将年销售量落入各组的频率视为概率,各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值,并假设每年的销售量相互独立.
①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率:
②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据,试判断该服装厂应选择哪个方案.(6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】共享单车因绿色、环保、健康的出行方式,在国内得到迅速推广.最近,某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士,结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”,其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.
(1)从这些男士和女士中各抽取一人,求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率;
(2)从这些男士中抽取一人,女士中抽取两人,记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为,求
的分布列与数学期望.
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