【题目】如图,三棱锥D-ABC中,,E,F分别为DB,AB的中点,且
.
(1)求证:平面平面ABC;
(2)求二面角D-CE-F的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】
(1)取的中点
,可得
,
,从而得到
平面
,得到
,由
,
,得到
,从而得到
平面
,所以平面
平面
;(2)以
为原点,建立空间直角坐标系,利用余弦定理和勾股定理,得到
,
,得到
的法向量
,平面
的法向量
,根据向量夹角的余弦公式,得到二面角
的余弦值
(1)如图取的中点
,连接
,
,
因为,所以
,
因为,所以
,
又因为,所以
平面
,
平面
所以.
因为,
分别为
,
的中点,所以
.
因为,即
,
则.
又因为,
所以平面
,
又因为平面DAB,
所以平面平面
.
(2)因为平面
,则以
为坐标原点,
过点与
垂直的直线为
轴,
为
轴,AD为
轴,
建立如下图所示的空间直角坐标系.
因为,
在中,
,
所以.
在中,
,
所以点,
,
.
设平面的法向量为
.
所以,即
,
可取.
设平面的法向量为
.
所以,即
,
可取,
则
因为二面角为钝二面角,所以二面角
的余弦值为
.
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【题目】某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”,收集了使用该型号电动汽车年以上的部分客户的相关数据,得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组,从年龄在40岁(含40岁)以上的客户中抽取10位归为B组,将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图,其中“+”表示A组的客户,“⊙”表示B组的客户.
注:“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.
(Ⅰ)记A,B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为,
,根据图中数据,试比较
,
的大小(结论不要求证明);
(Ⅱ)从A,B两组客户中随机抽取2位,求其中至少有一位是A组的客户的概率;
(III)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350,那么称该客户为“驾驶达人”.从A,B两组客户中,各随机抽取1位,记“驾驶达人”的人数为,求随机变量
的分布列及其数学期望
.
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【题目】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个,求这两个国家包括A1,但不包括B1的概率.
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【题目】已知双曲线(
,
)的一条渐近线方程为
,点
在双曲线上;抛物线
(
)的焦点F与双曲线的右焦点重合.
(1)求双曲线和抛物线的标准方程;
(2)过焦点F作一条直线l交抛物线于A,B两点,当直线l的斜率为时,求线段
的长度.
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【题目】受电视机在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每台电视机的利润与该电视机首次出现故障的时间有关.某电视机制造厂生产甲、乙两种型号电视机,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种型号电视机中各随机抽取50台,统计数据如下:
品牌 | 甲 | 乙 | |||
首次出现故障时间x(年) | |||||
电视机数量(台) | 3 | 5 | 42 | 8 | 42 |
每台利润(千元) | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.8 |
将频率视为概率,解答下列问题:
(1)从该厂生产的甲种型号电视机中随机抽取一台,求首次出现故障发生在保修期内的概率;
(2)该厂预计今后这两种型号电视机销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种型号电视机,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种型号电视机?说明理由.
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【题目】一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关,现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表:
温度x/℃ | 21 | 23 | 24 | 27 | 29 | 32 |
产卵数y/个 | 6 | 11 | 20 | 27 | 57 | 77 |
经计算得:
,
,
线性回归模型的残差平方和
,
,
其中分别为观测数据中的温度和产卵数,
(1)若用线性回归模型,求y关于x的回归方程(精确到0.1);
(2)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为,且相关指数
.
①试与1中的回归模型相比,用说明哪种模型的拟合效果更好.
②用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该用哪种药用昆虫的产卵数(结果取整数)
附:一组数据其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计为
,
;相关指数
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】太极是中国古代的哲学术语,意为派生万物的本源.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,俗称阴阳鱼.太极图形象化地表达了阴阳轮转,相反相成是万物生成变化根源的哲理.太极图形展现了一种互相转化,相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆被
的图象分割为两个对称的鱼形图案,图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼”,已知小圆的半径均为
,现在大圆内随机投放一点,则此点投放到“鱼眼”部分的概率为( )
A. B.
C.
D.
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