Question

f（x）是R上的函数，对于任意和实数a，b，都有f（ab）=af（b）+bf（a），且f（2）=1．
（1）求f（1），f（

1

2

）的值；
（2）令b_n=f（2^-n），求证：{2ⁿb_n}为等差数列；
（3）求{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先对a，b赋值1求出f（1），在利用f（1）=f（2×）即可求出f（

1

2

）的值；
（2）先利用条件找到2ⁿf（2^-n）=2^n-1f（2^1-n）-2^-1．再利用结论构造出一个等差数列，问题得以证明，
（3）利用（2）的结论求出等差数列的通项进而求出{b_n}的解析式．

解答： 解：（1）令a=b=1，
则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
再令a=2，b=

1

2

，
则f（1）=2f（

1

2

）+

1

2

f（2），
∵f（2）=1．
∴f（

1

2

）=-

1

4

，
（2）f（2^-n）=f（2^-1•2^1-n）=2^-1f（2^1-n）+2^1-nf（2^-1），
∴2ⁿf（2^-n）=2^n-1f（2^1-n）-2^-1．
令c_n=2ⁿf（2^-n），
∴c_n=c_n-1-2^-1，
∴c_n-c_n-1=

1

2

，
∴{2ⁿb_n}为等差数列
（3）由（2）知，
∴数列{2ⁿb_n}是以公差d=-

1

2

，首项为2b₁=2f（

1

2

）=-

1

2

的等差数列，
∴2ⁿb_n=2b₁+（n-1）•（-

1

2

），
∴b_n=-

n

2n+1

．

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了函数的奇偶性，赋值法，等差数列，等比数列的定义及通项．