Question

（2014•长宁区一模）已知函数f(x)=

1

x

-log2

a+x

1-x

为奇函数．
（1）求常数a的值；
（2）判断函数的单调性，并说明理由；
（3）函数g（x）的图象由函数f（x）的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，写出g（x）的一个对称中心，若g（b）=1，求g（4-b）的值．

Answer 1

分析：（1）根据函数的定义域关于原点对称，以及

a+x

1-x

＞0，求得a=1，检验满足f（-x）=-f（x）．
（2）根据f(x)=

1

x

-log2(-1-

2

x-1

)，log2(-1-

2

x-1

)单调递增，

1

x

在（-1，0）及（0，1）上单调递减，可得函数f（x）在（-1，0）及（0，1）上单调递减．
（3）函数f（x）的图象关于坐标原点（0，0）对称，可得函数g（x）的一个对称中心为（2，2），可得
g（4-x）+g（x）=4，再由g（b）=1，求得g（4-b）的值．

解答：解：（1）因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，由

a+x

1-x

＞0，
得（x-1）（x+a）＜0，所以a=1． 
这时f(x)=

1

x

-log2

1+x

1-x

，满足f（-x）=-f（x），函数为奇函数，因此a=1．
（2）函数为单调递减函数.f(x)=

1

x

-log2(-1-

2

x-1

)
利用已有函数的单调性加以说明．∵-1-

2

x-1

在x∈（-1，1）上单调递增，因此log2(-1-

2

x-1

)单调递增，又

1

x

在（-1，0）及（0，1）上单调递减，因此函数f（x）在（-1，0）及（0，1）上单调递减．
（3）因为函数f（x）为奇函数，因此其图象关于坐标原点（0，0）对称，
根据条件得到函数g（x）的一个对称中心为（2，2），
因此有g（4-x）+g（x）=4，因为g（b）=1，因此g（4-b）=3．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，函数图象的平移规律，属于中档题．