Question

【题目】已知函数f（x）=2x+2﹣x ．
（1）用定义法证明：函数f（x）是区间（0，+∞）上的增函数；
（2）若x∈[﹣1，2]，求函数g（x）=2x[f（x）﹣2]﹣3的值域．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设x2＞x1＞0，则：

=

= ，

∵x2＞x1＞0，∴ ， ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴函数f（x）是区间（0，+∞）上的增函数

（2）∵x∈[﹣1，2]，∴ ，g（x）=2x[f（x）﹣2]﹣3=（2x）2﹣22x﹣2=（2x﹣1）2﹣3，

当2x=1时，g（x）min=﹣3；当2x=4时，g（x）max=6．

∴函数g（x）的值域为[﹣3，6]

【解析】（1）直接利用函数单调性的定义证明即可；（2）已知f（x）得到g（x）=（2x﹣1）2﹣3，利用二次函数的性质求值域即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的值域和函数单调性的判断方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．