Question

已知函数f（x）=x-xlnx，g（x）=f（x）-xf′（a），其中f′（a）表示函数f（x）在x=a处的导数，a为正常数，且
（1）求g（x）的单调区间；
（2）对任意的正实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，证明：（x₂-x₁）f′（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f′（x₁）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的定义域，再求函数的导数，进一步将f′（a）表示出来，代入g（x），再进一步利用导数研究函数g（x）的单调性；
（2）根据第一问的结果，结论可化为f′(x2)＜

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜f′(x1)，从而利用导数的几何意义结合函数的单调性完成证明．

解答： 解：（1）由已知得f′（x）=-lnx，所以g（x）=x-xlnx+xlna
则由已知得g′(x)=f′(x)-f′(a)=-lnx+lna=ln

a

x

所以x∈（0，a）时，0＜

a

x

＜1，所以此时g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，a）上单调递增，同理可判断当x∈（a，+∞）时，g（x）递减，
故函数g（x）的递增区间为（0，a），递减区间为（a，+∞）．
（2）对任意的正实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
要证（x₂-x₁）f′（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f′（x₁）成立，结合x₁＜x₂
只需证f′(x2)＜

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜f′(x1)
显然

f(x2)-f(x1)

x2-x1

表示的是点（x₁，f（x₁））与（x₂，f（x₂））连线的斜率，
则由导数的几何意义可知，在区间（x₁，x₂）上必存在点（x₀，f（x₀））一条切线平行于该割线，
即f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，由（1）知f′（x）=-lnx在[x₁，x₂]上递减，
所以f′（x₂）＜f′（x₀）＜f′（x₁）
即（x₂-x₁）f′（x₂）＜f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）f′（x₁）．证毕．

点评：本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，第二问充分利用了导数的几何意义、割线与切线的间的关系完成了证明，充分体现了导数几何意义的本质．