Question

设点是曲线上的动点，点到点（0，1）的距离和它到焦点的距离之和的最小值为.
（1）求曲线C的方程；
（2）若点的横坐标为1，过作斜率为的直线交于点，交轴于点，过点且与垂直的直线与交于另一点，问是否存在实数，使得直线与曲线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）；（2）.

第一问中国，利用依题意知，解得，所以曲线的方程为
第二问中，设直线的方程为：，则点联立方程组，消去得
得.所以得直线的方程为.
代入曲线，.解得
解：（Ⅰ）依题意知，解得.
所以曲线的方程为. ……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由题意直线的方程为：，则点
联立方程组，消去得所以直线的斜率，从而得到结论。
得.………………………………………………………………………………6分
所以得直线的方程为.
代入曲线，得.
解得.…………………………………………………………………8分
所以直线的斜率…………………………10分
过点的切线的斜率.
由题意有.
解得.
故存在实数使命题成立.……………………………………………………………12分