Question

已知|

AC

|=5，|

AB

|=8，

AD

=

5

11

DB

，

CD

•

AD

=0，
（1）求|

AB

-

AC

|；
（2）设∠BAC=θ，且已知cos(θ+x)=

4

5

，-π＜x＜-

π

4

，求sinx．

Answer 1

分析：（1）利用向量共线的充要条件判断出A，B，D共线，求出AD；利用向量垂直的充要条件判断出CD，AD垂直，
利用余弦定理求出BC，即|

AB

-

AC

|
（2）利用三角函数的平方关系求出sin(

π

3

+x)，将角x用x+

π

3

-

π

3

表示，利用两角差的正弦公式求出sinx．

解答：解：（1）由已知，|

AD

|=

5

16

|

AB

|=

5

2

，且

CD

•

AD

=0，即CD⊥AD，
所以cos∠BAC═

1

2

，由余弦定理，|

AB

-

AC

|=|

BC

|=

52+82-2×5×8× 1 2

=7；

（2）由（1），cosθ=

1

2

，θ=

π

3

，cos(θ+x)=cos(

π

3

+x)=

4

5

，
所以sin(

π

3

+x)=±

3

5

，而-π＜x＜-

π

4

，-

2π

3

＜

π

3

+x＜

π

12

，
如果0＜

π

3

+x＜

π

12

，则sin(

π

3

+x)＜sin

π

12

＜sin

π

6

=

1

2

＜

3

5

，
所以sin(

π

3

+x)=-

3

5

，此时sinx=sin[(

π

3

+x)-

π

3

]=-

3+4 3

10

．

点评：本题考查向量共线的充要条件、向量垂直的充要条件、三角形的余弦定理、三角函数的平方关系、
将未知角用已知角表示从而将未知的三角函数用已知的三角函数表示．