Question

【题目】知函数f（x）= （a＞1），求：
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明f（x）是R上的增函数；
（3）求该函数的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数的定义域为R，

则f（﹣x） =﹣ =﹣f（x），

则函数f（x）是奇函数

（2）证明：f（x）= = =1﹣ ，

∵a＞1，∴ax是增函数，ax+1是增函数，

则 是减函数，﹣ 为增函数，

即f（x）=1﹣ 为增函数，

即f（x）是R上的增函数

（3）解：∵f（x）= = =1﹣ ，a＞1，

∴ax+1＞1，0＜ ，0＜ ＜2，

﹣2＜﹣ ＜0，﹣1＜1﹣ ＜1，

即﹣1＜y＜1，

故函数的值域为（﹣1，1）

【解析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；（2）根据指数函数的单调性的性质即可证明f（x）是R上的增函数；（3）根据指数函数的性质即可求该函数的值域．
【考点精析】本题主要考查了函数的值域和函数单调性的判断方法的相关知识点，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能正确解答此题．