Question

18．已知函数f（x）=e^x，当x∈[0，1]时，求证：
（1）f（x）≥1+x；
（2）（1-x）f（x）≤1+x．

Answer 1

分析 （1）设g（x）=e^x-x-1，x∈[0，1]．利用导数数得到g（x）的最小值不小于0即可；
（2）设h（x）=（1-x）e^x-x-1，x∈[0，1]．利用导数数得到g（x）的最大值不大于0即可；

解答 证明：（1）设g（x）=e^x-x-1，x∈[0，1]．
∵g′（x）=e^x-1≥0，∴g（x）在[0，1]上是增函数，
g（x）≥g（0）=1-0-1=0．
∴e^x≥1+x，即f（x）≥1+x．
（2）设h（x）=（1-x）e^x-x-1，x∈[0，1]．
∵h′（x）=-xe^x-1＜0，∴h（x）在[0，1]上是减函数，
h（x）≤h（0）=1-0-1=0．
∴（1-x）e^x-x-1≤0，即（1-x）f（x）≤1+x．

点评 本题考查的知识点是导数数在最值中的应用，转化思想，恒成立问题，难度中档．