Question

【题目】已知抛物线： 的焦点为，准线为，三个点， ， 中恰有两个点在上．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过的直线交于， 两点，点为上任意一点，证明：直线， ， 的斜率成等差数列．

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析：（1）由对称关系可知， 两点在上，求得抛物线的标准方程为；（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，得到韦达定理，表示出直线的斜率，证明满足等差中项公式即可。

试题解析：

（I）因为抛物线： 关于x轴对称，

所以中只能是两点在上，

带入坐标易得，所以抛物线的标准方程为

（II）证明：抛物线的焦点的坐标为，准线的方程为.

设直线的方程为， .

由，可得，所以，

于是，

设直线的斜率分别为，

一方面，

.

另一方面， .

所以，即直线的斜率成等差数列