【题目】如图,已知椭圆(a>b>0)的离心率,过点和的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知定点,若直线与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,使得以为直径的圆过点.
【解析】
试题分析:(1)由两点的坐标可得直线方程,根据点到线的距离公式可得间的关系式,再结合离心率及可解得的值.(2)将直线方程与椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程.根据有2个交点可知其判别式大于0得的范围.由上式可得两根之和,两根之积.以为直径的圆过点时,根据直线垂直斜率相乘等于可得的值.若满足前边判别式大于0得的的范围说明存在,否则说明不存在.
试题解析:解:解析:(1)直线方程为:.
依题意 解得
∴ 椭圆方程为.
(2)假若存在这样的值,由得.
∴ ①
设,、,,则 ②
而.
要使以为直径的圆过点,当且仅当时,则,即
∴ ③
将②式代入③整理解得.经验证,,使①成立.
综上可知,存在,使得以为直径的圆过点.
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【题目】某县城出租车的收费标准是:起步价是元(乘车不超过千米);行驶千米后,每千米车费1.2元;行驶千米后,每千米车费1.8元.
(1)写出车费与路程的关系式;
(2)一顾客计划行程千米,为了省钱,他设计了三种乘车方案:
①不换车:乘一辆出租车行千米;
②分两段乘车:先乘一辆车行千米,换乘另一辆车再行千米;
③分三段乘车:每乘千米换一次车.
问哪一种方案最省钱.
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【题目】私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:
(Ⅰ)完成被调查人员的频率分布直方图;
(Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查,求恰有2人不赞成的概率;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】线段AB的两端在直二面角α-l-β的两个面内,并与这两个面都成30°角,则异面直线AB与l所成的角是( )
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
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【题目】对于函数,若在定义域内存在实数,满足,则称为“局部奇函数”
(1)已知二次函数(且),试判断是否为“局部奇函数”,并说明理由;
(2)若是定义在区间上的“局部奇函数”,求实数的取值范围;
(3)若为定义域为上的“局部奇函数”,求实数的取值范围;
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【题目】如图,在直角梯形中, , , ,点是边的中点,将沿折起,使平面平面,连接, , ,得到如图所示的几何体.
(Ⅰ)求证: 平面.
(Ⅱ)若, 与其在平面内的正投影所成角的正切值为,求点到平面的距离.
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