【题目】已知双曲线的焦点在x轴上,焦距为,实轴长为2
(1)求双曲线的标准方程与渐近线方程。
(2)若点 在该双曲线上运动,且
,
,求以
,
为相邻两边的平行四边形
的顶点
的轨迹.
【答案】(1)双曲线的方程为 ,渐近线方程为
(2)
【解析】试题分析:(1)根据焦距为 可得
,由实轴长为
可得
,从而可得
,于是可得双曲线的标准方程与渐近线方程;(2)设点
的坐标为
,点
的坐标为
,则线段
的中点
的坐标为
,根据平行四边形的性质可得
所以
,代入双曲线方程得结果.
试题解析:(1)由题意可知,
,所以
,所以双曲线的方程为
,渐近线方程为
;
(2)设点 的坐标为
,点
的坐标为
,
则线段 的中点
的坐标为
由平行四边形的性质,点 也是线段
的中点,
所以有
因此 可用
,
表示,得
①
又由于 在曲线
上,因此,
②
①代入②,得 .
因为平行四边形不可能有两个以上的顶点在一条直线上,
所以动点 的轨迹是除去两点
,
的曲线
.
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【题目】已知抛物线:
的焦点为
,准线为
,三个点
,
,
中恰有两个点在
上.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过的直线交
于
,
两点,点
为
上任意一点,证明:直线
,
,
的斜率成等差数列.
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【题目】已知中心在原点的双曲线 的右焦点为
,右顶点为
,(
为原点)
(1)求双曲线 的方程;
(2)若直线 :
与双曲线恒有两个不同的交点
和
,且
,求
的取值范围.
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【题目】已知短轴长为2的椭圆,直线
的横、纵截距分别为
,且原点到直线
的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线经过椭圆的右焦点
且与椭圆
交于
两点,若椭圆
上存在一点
满足
,求直线
的方程.
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【题目】设椭圆的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点
, 且
(
为坐标原点)?若存在,写出该圆的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】已知抛物线关于
轴对称,顶点在坐标原点
,直线
经过抛物线
的焦点.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若不经过坐标原点的直线
与抛物线
相交于不同的两点
,
,且满足
,证明直线
过
轴上一定点
,并求出点
的坐标.
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