【题目】设椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点, 且(为坐标原点)?若存在,写出该圆的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且.
【解析】试题分析:(1)由题目已知离心率为,且过点即可求出椭圆方程(2)先假设存在,设两个交点坐标和直线方程, ,根据直线与圆相切及,得出方程组,从而求解出结果,再讨论斜率不存在时的情况
解析:(1)由已知得,又,得,解得
(2)假设满足题意的圆存在,其方程为,其中.
设该圆的任意一条切线和椭圆交于两点
当直线的斜率存在时,令直线的方程为
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为①
联立方程得
要使,需使,即,
所以,②
, ,所求的圆为,
而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为
或满足,
综上,存在圆心在原点的圆,
使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且.
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【题目】某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李,小王设计的底座形状分别为, ,经测量米, 米, 米,
(I)求的长度;
(Ⅱ)若环境标志的底座每平方米造价为元,不考虑其他因素,小李,小王谁的设计建造费用最低(请说明理由),最低造价为多少?()
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【题目】已知两点及,点在以、为焦点的椭圆上,且、、构成等差数列.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设是过原点的直线,是与n垂直相交于点,与椭圆相交于两点的直线,,是否存在上述直线使成立?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知抛物线: 的焦点为,准线为,三个点, , 中恰有两个点在上.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过的直线交于, 两点,点为上任意一点,证明:直线, , 的斜率成等差数列.
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【题目】已知双曲线的焦点在x轴上,焦距为,实轴长为2
(1)求双曲线的标准方程与渐近线方程。
(2)若点 在该双曲线上运动,且, ,求以 , 为相邻两边的平行四边形 的顶点 的轨迹.
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【题目】甲袋中有1只黑球,3只红球;乙袋中有2只黑球,1只红球.
(1)从甲袋中任取两球,求取出的两球颜色不相同的概率;
(2)从甲,乙两袋中各取一球,求取出的两球颜色相同的概率.
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【题目】将五个1,五个2,五个3,五个4,五个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2,考查每行中五个数之和,记这五个和的最小值为,则的最大值为( )
A. B. 9 C. 10 D. 11
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【题目】已知是定义在上的奇函数,且,若且时,有成立.
(1)判断在上的单调性,并用定义证明;
(2)解不等式;
(3)若对所有的恒成立,求实数的取值范围.
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