Question

【题目】已知是定义在上的奇函数，且，若且时，有成立．

（1）判断在上的单调性，并用定义证明；

（2）解不等式；

（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或

【解析】

（1）利用函数单调性的定义，奇函数的性质，结合，判断在上的单调递增;

(2) 根据（1）的结论，以及函数的定义域，列出不等式组,求出x的范围;

（3）根据（1）的结论和条件，将问题转化为m2-2am+1≥1，即m2-2am≥0对a∈[-1，1]恒成立，构造函数g（a）= -2ma+m2，进而求得m的取值范围.

任取x1，x2∈[－1,1]且x1<x2，则－x2∈[－1,1]，

∵f(x)为奇函数，∴f(－x2)= -f(x2),

∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)=

由已知得>0，<0,

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[－1,1]上单调递增．

(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，∴ ，解得

(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增，∴在[－1,1]上，f(x)≤1.

问题转化为m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]恒成立．

设g(a)＝－2m·a＋m2.

①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．

②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.

∴m的取值范围是m＝0或m≤－2或m≥2.