Question

【题目】已知集合（，且），若存在非空集合，使得，且，并任意，都有，则称集合S具有性质P，称为集合S的P子集.

（1）当时，试说明集合S具有性质P，并写出相应的P子集；

（2）若集合S具有性质P，集合T是集合S的一个P子集，设，求证：任意，，都有；

（3）求证：对任意正整数，集合S具有性质P.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

(1)根据新定义,即可求出的P子集;(2)分类讨论,根据定义即可证明,(3)利用数学归纳法证明即可.

(1)当时，,

令，

则,且对都有

所以S具有性质P，相应的P子集为，

（2）1.若，由已知，

所以；

2.若，可设

此时

所以且

所以；

3.若，

则

所以

又因为，

所以

所以

所以

综上所述：任意，，都有

（3）由（1）可知当时，命题成立，即集合S具有性质P

假设时，命题成立

即且

都有

那么当时，记

并构造如下个集合，，

显然

又因为，

所以

下面证明中任意两个元素之差不等于中的任意一个元素

1.若两个元素

则

所以

2.若两个元素都属于

由第二问可知，中任意两个元素之差不等于中的任意元素

从而时命题成立

综上所述：对任意正整数，集合S具有性质P.