Question

17．已知f（x）是R上的奇函数，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x（x≥0）\\-{x^2}+mx（x＜0）\end{array}\right.$，则f（x-1）＜f（mx）解集为（-1，+∞）．

Answer 1

分析 先根据f（x）为奇函数，便有f（-1）=-f（1），所以可求出m=2，所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x}&{x≥0}\\{-{x}^{2}+mx}&{x＜0}\end{array}\right.$，而根据二次函数的单调性以及分段函数单调性的判断方法可得出函数f（x）在R上单调递增．所以由f（x-1）＜f（2x）便得到x-1＜2x，这样便解得x＞-1．

解答 解：f（x）是R上的奇函数；
∴f（-1）=-f（1）；
∴-1-m=-3；
∴m=2；
容易判断二次函数x²+2x在[0，+∞）单调递增，-x²+2x在（-∞，0）上单调递增；
∴x²+2x≥0，-x²+2x＜0；
∴函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x}&{x≥0}\\{-{x}^{2}+2x}&{x＜0}\end{array}\right.$在R上单调递增；
∴由f（x-1）＜f（2x）得，x-1＜2x；
∴x＞-1；
∴f（x-1）＜f（mx）的解集为（-1，+∞）．
故答案为：（-1，+∞）．

点评 考查奇函数的定义，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用．