Question

已知函数f（x）=ax²+2bx+1．
（Ⅰ）若函数f（x）中的a，b是从区间[-1，3]中任取的两个不同的整数，求f（x）为二次函数且存在零点的概率；
（Ⅱ）若a是从区间[1，3]中任取的一个数，b是从区间[-2，2]中任取的一个数，求[f（1）-3]•[f（-1）-3]≤0的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,几何概型

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）a，b是从区间[-1，3]中任取的两个不同的整数，基本事件有20个基本事件，设“f（x）为二次函数且存在零点“为事件A，f（x）=ax²+2bx+1为二次函数且存在零点，等价于b²≥a，且a≠0，事件A包含的基本事件有8个，由此能求出f（x）为二次函数且存在零点的概率．
（Ⅱ）设“[f（1）-3]•[f（-1）-3]≤0“为事件B，试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|

1≤a≤3 -2≤b≤2

}，构成事件B的区域为{（

(a+2b-2)(a-2b-2)≤0 1≤a≤3 -2≤b≤2

}，由此能求出[f（1）-3]•[f（-1）-3]≤0的概率．

解答： 解：（Ⅰ）∵a，b是从区间[-1，3]中任取的两个不同的整数，
则基本事件为（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-1，3），（0，-1），（0，1），（0，2），（0，3），（1，-1），（1，0），（1，2），（1，3），（2，-1），（2，0），（2，1），（2，3），（3，-1），（3，0），（3，1），（3，2），
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．共20个基本事件，
设“f（x）为二次函数且存在零点“为事件A，
f（x）=ax²+2bx+1为二次函数且存在零点，等价于b²≥a，且a≠0，
∴事件A包含的基本事件有：
（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-1，3），（1，-1），（1，2），（1，3），（2，3），（3，2），共个，
∴f（x）为二次函数且存在零点的概率：p=

9

20

；
（Ⅱ）设“[f（1）-3]•[f（-1）-3]≤0“为事件B，
试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|

1≤a≤3 -2≤b≤2

}，
这是一个长方形区域，面积为S=2×4=8，
构成事件B的区域为{（

(a+2b-2)(a-2b-2)≤0 1≤a≤3 -2≤b≤2

}，
这是一对对顶的五边形区域，如图，
其面积为S_B=8-2×

1

2

×1×1=7，
∴[f（1）-3]•[f（-1）-3]≤0的概率为p′=

7

8

．

点评：本题考查概率的求法，是中档题，解题时要注意列举法和几何概型概率计算公式的合理运用．