Question

已知实数a＞0，函数f（x）=x²-ax-2a-b，g（x）=a²lnx-（a²+a）lna，F（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）当a=1，b=0时，求函数F（x）单调区间；
（Ⅱ）对?x∈（0，+∞），a∈（0，+∞），F（x）＞0恒成立，求实数b的取值范围．（结果用a表示）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得函数F（x）单调区间；
（Ⅱ）求导数，确定函数在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，可得x=a时，F（x）_min=-2a-b+alna，即可求实数b的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1，b=0时，F（x）=f（x）-g（x）=x²-x-2-lnx．
∴F′（x）=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

，
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（Ⅱ）F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-2a-b-a²lnx+（a²+a）lna．
∴F′（x）=2x-a-

a2

x

=

(x-a)(2x+a)

x

，
∵x∈（0，+∞），a∈（0，+∞），
∴函数在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
∴x=a时，F（x）_min=-2a-b+alna，
∵?x∈（0，+∞），a∈（0，+∞），F（x）＞0恒成立，
∴-2a-b+alna＞0，
∴b＜2a+alna．

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，正确求导数，确定函数的单调性是关键．