Question

已知椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，线段OF₁、OF₂的中点分别为B₁、B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．
（1）求椭圆标准方程；
（2）过B₁作直线l交椭圆于P，Q，且以线段PQ为直径的圆过点B₂，求直线l的方程与△PB₂Q的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．利用△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．可得

1

2

|B1B2||OA|=

1

2

×c×b=4，且b=

1

2

c，a²=b²+c²．解出即可．
（2）当l与x轴重合时，不符合题意．设直线l的方程为x+2=my，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系．由于以PQ为直径的圆恰好经过B₂（2，0），可得PB₂⊥QB₂，利用

B2P

•

B2Q

=0即可解出．利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵上顶点为A，线段OF₁、OF₂的中点分别为B₁、B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．
∴

1

2

|B1B2||OA|=

1

2

×c×b=4，且b=

1

2

c，解得b=2，c=4，∴a²=b²+c²=20．
∴椭圆标准方程为

x2

20

+

y2

4

=1．
（2）B₁（-2，0）．
当l与x轴重合时，不符合题意．
设直线l的方程为x+2=my，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立

x+2=my x2+5y2=20

，化为（5+m²）y²-4my-16=0，
∴y₁+y₂=

4m

5+m2

，y₁y₂=

-16

5+m2

∵以PQ为直径的圆恰好经过B₂（2，0），
∴PB₂⊥QB₂，
∴

B2P

•

B2Q

=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）
=（my₁-2）（my₂-2）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4=0，
∴

-16(1+m2)

5+m2

+

-8m2

5+m2

+4=0，
化为m2=

1

5

．
解得m=±

5

5

．
∴直线l的方程为：x+2=±

5

5

y，即

5

x±y+2

5

=0．
|PQ|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

6 5 ×[( 4m 5+m2 )2- -64 5+m2 ]

=

6 70

13

，
B₂到直线l的距离d=

2 30

3

．
∴△PB₂Q的面积=

1

2

|PQ|•d=

1

2

×

6 70

13

×

2 30

3

=

20 21

13

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．