【题目】已知函数f(x)=lnx﹣a(a∈R)与函数 有公共切线. (Ⅰ)求a的取值范围;
(Ⅱ)若不等式xf(x)+e>2﹣a对于x>0的一切值恒成立,求a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ) , . ∵函数f(x)与F(x)有公共切线,∴函数f(x)与F(x)的图象相切或无交点.
当两函数图象相切时,设切点的横坐标为x0(x0>0),则 ,
解得x0=2或x0=﹣1(舍去),
则f(2)=F(2),得a=ln2﹣3,
由此求出a≥ln2﹣3,即a的取值范围为[ln2﹣3,+∞).
(Ⅱ)等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,
令g(x)=xlnx+a+e﹣2﹣ax,
因为g'(x)=lnx+1﹣a,令g'(x)=0,得 ,
x |
|
|
|
g'(x) | ﹣ | 0 | + |
g(x) | 极小值 |
所以g(x)的最小值为 ,
令 ,因为 ,
令t'(x)=0,得x=1,且
x | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
t'(x) | + | 0 | ﹣ |
t(x) | 极大值 |
所以当a∈(0,1)时,g(x)的最小值 ,
当a∈[1,+∞)时,g(x)的最小值为 =t(2),
所以a∈[1,2].
综上得a的取值范围为(0,2]
【解析】.(Ⅰ) , .由函数f(x)与F(x)有公共切线,知函数f(x)与F(x)的图象相切或无交点.由此能求出a的取值范围(Ⅱ)等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,令g(x)=xlnx+a+e﹣2﹣ax,g'(x)=lnx+1﹣a,令g'(x)=0,得 ,从而求出g(x)的最小值,令 ,由 =0,得x=1,由此能求出a的取值范围.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
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【题目】抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位:分),结果如下:
学生 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次 |
甲 | 65 | 80 | 70 | 85 | 75 |
乙 | 80 | 70 | 75 | 80 | 70 |
则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为 .
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【题目】已知f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f′(x)﹣f(x)>1,f(0)=2016,则不等式f(x)>2017ex﹣1(其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A.(﹣∞,0)∪(0,+∞)
B.(2017,+∞)
C.(0,+∞)
D.(0,+∞)∪(2017,+∞)
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若g(x)=f(x+1)+5,g′(x)为g(x)的导函数,对x∈R,总有g′(x)>2x,则g(x)<x2+4的解集为 .
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【题目】已知函数f(x)=( x3﹣x2+ )cos2017( + )+2x+3在[﹣2015,2017]上的最大值为M,最小值为m,则M+m=( )
A.5
B.10
C.1
D.0
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【题目】设集合A={x|﹣1≤x+1≤6},B={x|m﹣1≤x<2m+1}.
(1)当x∈Z,求A的真子集的个数?
(2)若BA,求实数m的取值范围?
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【题目】已知函数f(x)=(x﹣2)lnx﹣ax+1.
(1)若f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若存在唯一整数x0 , 使得f(x0)<0成立,求实数a的取值范围.
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