Question

已知函数f（x+1）是偶函数，且x＞1时，f′（x）＜0恒成立，又f（4）=0，则（x+3）f（x+4）＜0的解集为（　　）

• A、（-∞，-2）∪（4，+∞）
• B、（-6，-3）∪（0，4）
• C、（-∞，-6）∪（4，+∞）
• D、（-6，-3）∪（0，+∞）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x+1）是偶函数知，f（x）图象关于x=1对称，又x＞1时，f′（x）＜0恒成立，知道f（x）在（1，+∞）递减，在（-∞，1）上递增，再结合f（4）=0，可得到（x-1）f（x）＜0的解集，运用换元法可求得（x+3）f（x+4）＜0的解．

解答： 解：∵函数f（x+1）是偶函数，∴其图象关于y轴对称，
∵f（x）的图象是由f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，
∴f（x）的图象关于x=1对称，
又∵x＞1时，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）在（1，+∞）上递减，在（-∞，1）上递增，
又f（4）=0，∴f（-2）=0，
∴当x∈（-∞，-2）∪（4，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，1）∪（1，4）时，f（x）＞0；
∴对于（x-1）f（x）＜0，当x∈（-2，1）∪（4，+∞）时成立，
∵（x+3）f（x+4）＜0可化为（x+4-1）f（x+4）＜0，
∴由-2＜x+4＜1或x+4＞4得所求的解为-6＜x＜-3或x＞0．
故选D

点评：抽象函数问题一般借助于数形结合的思想解决，解题中要注意图象变换方法的运用．