Question

已知函数f(x)=loga

1-x

1+x

(0＜a＜1)．
（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；
（2）如果当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（-∞，1），求a与t的值；
（3）对任意的x₁，x₂∈D，是否存在x₃∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），若存在，求出x₃；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）要使原函数有意义，则

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，
所以，函数f（x）的定义域D=（-1，1）
f（x）是定义域内的奇函数．
证明：对任意x∈D，有f(-x)=loga

1+x

1-x

=loga(

1-x

1+x

)-1=-loga(

1-x

1+x

)=-f(x)
所以函数f（x）是奇函数．
另证：对任意x∈D，f(-x)+f(x)=loga

1+x

1-x

+loga(

1-x

1+x

)=loga1=0
所以函数f（x）是奇函数．
（2）由

1-x

1+x

=-1+

2

x+1

知，函数g(x)=

1-x

1+x

在（-1，1）上单调递减，
因为0＜a＜1，所以f（x）在（-1，1）上是增函数  
又因为x∈（t，a）时，f（x）的值域是（-∞，1），所以（t，a）⊆（-1，1）
且g(x)=

1-x

1+x

在（t，a）的值域是（a，+∞），
故g(a)=

1-a

1+a

=a且t=-1（结合g（x）图象易得t=-1）
由

1-a

1+a

=a得：a²+a=1-a，解得a=

2

-1或a=-

2

-1（舍去）．
所以a=

2

-1，t=-1
（3）假设存在x₃∈（-1，1）使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）
即loga

1-x1

1+x1

+loga

1-x2

1+x2

=loga

1-x3

1+x3

则loga(

1-x1

1+x1

•

1-x2

1+x2

)=loga

1-x3

1+x3

?

1-x1

1+x1

•

1-x2

1+x2

=

1-x3

1+x3

，
解得x3=

x1+x2

1+x1x2

，
下面证明x3=

x1+x2

1+x1x2

∈(-1，1)，即证：(

x1+x2

1+x1x2

)2＜1．
证明：法一、
由(

x1+x2

1+x1x2

)2-1=

(x1+x2)2-(1+x1x2)2

(1+x1x2)2

=

x 21 + x 22 -1- x 21 x 22

(1+x1x2)2

=-

(1- x 21 )(1- x 22 )

(1+x1x2)2

．
∵x₁，x₂∈（-1，1），∴1-x12＞0，1-x22＞0，(1+x1x2)2＞0，
∴

(1-x12)(1-x22)

(1+x1x2)2

＞0，即(

x1+x2

1+x1x2

)2-1＜0，∴(

x1+x2

1+x1x2

)2＜1．
所以存在x3=

x1+x2

1+x1x2

∈(-1，1)，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）．
法二、
要证明(

x1+x2

1+x1x2

)2＜1，即证(x1+x2)2＜(1+x1x2)2，也即(1-x12)(1-x22)＞0．
∵x₁，x₂∈（-1，1），∴1-x12＞0，1-x22＞0，∴(1-x12)(1-x22)＞0，
∴(

x1+x2

1+x1x2

)2＜1．
所以存在x3=

x1+x2

1+x1x2

∈(-1，1)，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）．