Question

已知函数f（x）=x²-2ax-1
（1）当a=1，求函数f（x）在区间[0，2]上的最小值和最大值；
（2）求函数f（x）在区间[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析：利用二次函数的单调性和区间端点与二次函数顶点的横坐标的关系建立方程即可得出．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增．
∴当x=1时，函数f（x）取得最小值，且f（1）=1-2-1=-2；又f（0）=-1，f（2）=2²-2×2-1=-1，∴函数f（x）的最大值为f（0）=f（2）=-1．
（2）f（x）=（x-a）²-a²-1，
①当a≤0时，函数f（x）在[0，2]上单调递增，∴f（x）_min=f（0）=-1；
②当a≥2时，函数f（x）在[0，2]上单调递减，∴f（x）_min=f（2）=3-4a；
③当0＜a＜2时，函数f（x）在区间[0，a]上单调递减，在区间[a，2]上单调递增．
当x=a时，函数f（x）取得最小值，且f（a）=-a²-1．
综上可知：f(x)min=

-1，a≤0 -a2-1，0＜a＜2 3-4a，a≥2

．

点评：熟练掌握二次函数的单调性和分类讨论思想方法是解题的关键．