Question

已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意的a∈[1，2]，函数g（x）=x³+[

b

2

-f′（x）]x²在区间（a，3）上有最值，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的定义域和导数，根据函数单调性和导数之间的关系，即可讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）求函数的最值，根据最值恒成立，利用参数分离法即可得到结论．

解答： 解：（I）由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

1-ax

x

．
当a＜0时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，
当a＞0时，由f′（x）＞0，得0＜x＜

1

a

，此时函数单调递增；
由f′（x）＜0，得（

1

a

，+∞），
综上，当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞0时，函数f（x）在（0，

1

a

）上单调递增，在（

1

a

，+∞）上单调递减．
（II）由（I）得，f′（x）=

1-ax

x

．
∴g（x）=x³+[

b

2

-f′（x）]x²=x³+（

b

2

+a）x²-x，
∴g′（x）=3x²+（b+2a）x-，
∵g（x）在区间（a，3）上有最值，
∴g′（x）在区间（a，3）上有零点．
而g′（0）=-1＜0，∴

g′(a)＜0 g′(3)＞0

对任意的a∈[1，2]恒成立，
即3a²+（b+2a）a-1＜0 ①，26+3（b+2a）＞0，②对任意的a∈[1，2]，恒成立．
由①得，b＜

1

a

-5a，∵

1

a

-5a的最小值为

1

2

-10=-

19

2

，∴b＜-

19

2

由②得，b＞-2a-

26

3

，
∵-2a-

26

3

的最大值为-2-

26

3

=-

32

3

，∴b＞-

32

3

，
综上-

32

3

＜b＜-

19

2

．

点评：本题主要考查函数单调性，最值和单调性之间的关系，综合考查导数的应用，运算量较大，综合性较强．