Question

已知集合M={x|

1

2

≤x≤3}，函数g（x）=b^x，f（x）=ln（ax²-2x+b），若函数f（x）的定义域为N，且M∩N=[

1

2

，

2

3

），M∪N=（-2，3]
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求关于x的方程g（x）+g（-|x|）=2的实数解．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,集合的包含关系判断及应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据集合关系，求出集合N，根据对数的性质，建立条件关系，即可求求实数a，b的值；
（Ⅱ）化简方程，根据指数幂的性质，解指数方程即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵M={x|

1

2

≤x≤3}，且M∩N=[

1

2

，

2

3

），M∪N=（-2，3]
∴N=[-2，

2

3

]，
即不等式ax²-2x+b＞0解得即为N，由题意N=[-2，

2

3

]，
则-2，

2

3

是对应方程ax²-2x+b=0的两个根，
则-2+

2

3

=

2

a

，-2•

2

3

=

b

a

，
解得b=2，a=-

3

2

（Ⅱ）∵g（x）+g（-|x|）=2^x+2^-|x|=2，
∴当x≥0时，2^x+2^-x=2，即2^x=1，即x=0；
当x＜0时，2^x+2^x=2即2^x=1，无解，
∴x=0．

点评：本题主要考查集合的基本运算，以及与指数和对数函数有关的综合问题．