Question

18．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点是F，弦AB过点F，且|AB|=8，若AB的倾斜角是α，且cosα是|x-1|+|x-$\frac{1}{2}$|的最小值，则p的值为（　　）

• A． 1
• B． 6
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 利用绝对值不等式，求出|x-1|+|x-$\frac{1}{2}$|的最小值，可得AB的倾斜角，设出直线AB的方程，与抛物线联立，利用抛物线的定义及弦长公式建立方程，即可得出结论．

解答 解：由题意，|x-1|+|x-$\frac{1}{2}$|≥|x-1-x+$\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{2}$，
∵AB的倾斜角是α，且cosα是|x-1|+|x-$\frac{1}{2}$|的最小值，
∴α=60°，
设过焦点的直线方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
联立抛物线方程，可得3x²-5px+$\frac{3}{4}$p²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{3}$p，x₁x₂=$\frac{1}{4}$p²，
∴|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{8}{3}$p=8，
∴p=3．
故选D．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求．