Question

3．某单位需制作一种长方体包装盒，有两个要求：①容积为$\frac{512}{3}c{m^3}$．②包装盒底面长方形的长是宽的2倍．请你设计包装盒的长、宽、高，使包装盒用料最省，并求出最小用料面积．

Answer 1

分析 由题意：包装盒用料最省，即长方体的表面积最小．设宽为x（x＞0）那么长为2x，则高h=$\frac{512}{3×2{x}^{2}}=\frac{256}{3{x}^{2}}$，
表面积S=2×宽×长+2×高×长+2×宽×高，可得出表达式．利用基本不等式的性质求解最小值即可．

解答 解：由题意：设宽为x（x＞0），那么长为2x，则高h=$\frac{512}{3×2{x}^{2}}=\frac{256}{3{x}^{2}}$；
∴表面积S=2×宽×长+2×高×长+2×宽×高=4x²+$\frac{1024}{3x}$+$\frac{512}{3x}$=4x²+$\frac{1536}{3x}$
又∵4x²+$\frac{768}{3x}+\frac{768}{3x}$=$4{x}^{2}+\frac{256}{x}+\frac{256}{x}$≥3$\root{3}{4{x}^{2}•\frac{256}{x}•\frac{256}{x}}$=192．
当且仅当x=4取等号．
所以：当长为8，宽为4，高为$\frac{16}{3}$时，包装盒用料最省，最小用料为192cm²．

点评 本题考查了基本不等式的性质在实际问题中的运用．属于中档题．