Question

8．曲线C的方程为 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），曲线经过点$（\frac{3}{2}，1）$，曲线的离心率为$\frac{1}{2}$．
（I）求曲线C的方程；
（Ⅱ）点P是直线y=4上任意一点但不在y轴上，A₁，A₂是椭圆的上下两个顶点，直线PA₁，PA₂交椭圆分别为C和D，那么直线CD是否经过定点？如果经过定点，请求出定点坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得$a=2c，b=\sqrt{3}c$，将将点$（\frac{3}{2}，1）$代入曲线方程，即可求得a和b的值，求得曲线方程；
（Ⅱ）由题意可知，求得A₁和A₂坐标，求得直线PA₁和PA₂直线方程，代入曲线C的方程，求得C和D点坐标，求得直线CD的斜率和方程，整理即可求得 $y=\frac{{9{k^2}-4}}{12k}x+1$，即可求得直线CD经过定点 （0，1）．

解答 解：（I）由椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴$a=2c，b=\sqrt{3}c$，
将点$（\frac{3}{2}，1）$代入曲线方程，整理得：$\frac{1}{{4{c^2}}}+\frac{{{{（\frac{3}{2}）}^2}}}{{3{c^2}}}=1$，
解得：c=1，则a=2，c=$\sqrt{3}$，
∴曲线方程为$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$…（4分）
（II）设P（m，4），而A₁（0，-2），A₂（0，2）${K_{{A_1}P}}=\frac{6}{m}$，直线PA₁为 $y=\frac{6}{m}x-2$；
${K_{{A_2}P}}=\frac{2}{m}$，直线PA₂为 $y=\frac{2}{m}x+2$，
设$\frac{2}{m}=k$，则直线PA₁为y=3kx-2，直线PA₂为y=kx+2
由$\left\{\begin{array}{l}y=3kx-2\\ \frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1\end{array}\right.$得${x_c}=\frac{36k}{{27{k^2}+4}}$，${y_c}=\frac{{54{k^2}-8}}{{27{k^2}+4}}$
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1\end{array}\right.$得${x_D}=\frac{-12k}{{3{k^2}+4}}$，${y_D}=\frac{{8-6{k^2}}}{{3{k^2}+4}}$
故 ${K_{CD}}=\frac{{{y_C}-{y_D}}}{{{x_C}-{x_D}}}=\frac{{81{k^4}-16}}{{3k（36{k^2}+16）}}=\frac{{9{k^2}-4}}{12k}$…（8分）
∴直线CD方程为：y-$\frac{{8-6{k^2}}}{{3{k^2}+4}}$=$\frac{{9{k^2}-4}}{12k}$（x-$\frac{-12k}{{3{k^2}+4}}）$
整理得 $y=\frac{{9{k^2}-4}}{12k}x+1$，
故直线CD经过定点 （0，1）…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．