Question

18．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若$\frac{2c-b}{a}=\frac{cosB}{cosA}$．
（1）求角A的大小；
（2）已知$a=2\sqrt{5}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．
（2）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．

解答 解：（1）因为$\frac{2c-b}{a}=\frac{cosB}{cosA}$，所以（2c-b）cosA=acosB由正弦定理，
得（2sinC-sinB）cosA=sinAsinB，整理得2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB
所以2sinC-cosA=sin（A+B）=sinC
在△ABC中，sinC≠0，所以$cosA=\frac{1}{2}，∠A=\frac{π}{3}$
（2）由余弦定理cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，a=2$\sqrt{5}$．
∴b²+c²-20=bc≥2bc-20
∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．
∴三角形的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA≤5$\sqrt{3}$．
∴三角形面积的最大值为5$\sqrt{3}$

点评 本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用．