Question

8．等差数列{a_n}，其前n项和为S_n，且S₃₀＞0，S₃₁＜0，则前15项之和最大．

Answer 1

分析 推导出d＜0，-$\frac{29}{2}d$＜a₁＜-15d，S_n=$\frac{d}{2}$（n+$\frac{2{a}_{1}-d}{2d}$）²+$\frac{4{{a}_{1}}^{2}-{d}^{2}+4{a}_{1}d}{8d}$．由此能求出n=15时，等差数列{a_n}的前n项和S_n取最大值．

解答 解：∵等差数列{a_n}，其前n项和为S_n，且S₃₀＞0，S₃₁＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{30{a}_{1}+\frac{30×29}{2}d＞0}\\{31{a}_{1}+\frac{31×30}{2}d＜0}\end{array}\right.$，
∴d＜0，-$\frac{29}{2}d$＜a₁＜-15d，
∴S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$=$\frac{{n}^{2}d}{2}$+na₁-$\frac{nd}{2}$
=$\frac{d}{2}$（n²+$\frac{2{a}_{1}}{d}$n-n）
=$\frac{d}{2}$（n+$\frac{2{a}_{1}-d}{2d}$）²+$\frac{4{{a}_{1}}^{2}-{d}^{2}+4{a}_{1}d}{8d}$．
∵-$\frac{29}{2}d$＜a₁＜-15d，
∴-$\frac{29}{2}＜\frac{2{a}_{1}-d}{2d}＜-15$，
∴n=15时，等差数列{a_n}的前n项和S_n取最大值．
故答案为：15．

点评 本题考查等差数列的前n项和取最大值时项数n的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．