Question

17．如图，梯形ABCD内接于圆O，AD∥BC，过点C作圆O的切线，交BD的延长线于点F，交AD的延长线于点E．
（Ⅰ）求证：AB²=DE•BC；
（Ⅱ）若BD=BC=9，AB=6，求切线FC的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明△CDE～△BCD，然后推出AB²=DE•BC；
（Ⅱ）证明△CDF～△BCF，利用已知条件求出切线FC的长．

解答 解：（Ⅰ）因为CF与圆O相切，所以∠DCE=∠DBC，又DE∥BC，所以∠CDE=∠DCB，所以△CDE～△BCD，可得$\frac{DC}{BC}=\frac{DE}{DC}$，所以DC²=DE•BC，
又AB=DC，所以AB²=DE•BC…（5分）
（Ⅱ）∠DCE=∠DBC，∠BFC是公共角，所以△CDF～△BCF，
所以$\frac{FC}{DF}=\frac{FB}{FC}=\frac{BC}{CD}=\frac{9}{6}$，所以$FC=6+\frac{2}{3}FD$，
又FC²=FD•FB=FD•（FD+9），所以$FC=\frac{54}{5}$．…（10分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形相似的判断与应用，考查计算能力．