Question

6．若关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+4＞0}\\{a{x}^{2}-x+1＞0}\end{array}\right.$对于x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（$\frac{1}{4}$，4）．

Answer 1

分析 问题转化为函数恒成立问题，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜x+\frac{4}{x}}\\{a＞\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}}\end{array}\right.$在x∈[1，3]恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：若关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+4＞0}\\{a{x}^{2}-x+1＞0}\end{array}\right.$对于x∈[1，3]恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＜x+\frac{4}{x}}\\{a＞\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}}\end{array}\right.$在x∈[1，3]恒成立，
令f（x）=x+$\frac{4}{x}$，则f（x）≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，当且仅当x=2时“=”成立，
故a＜4，
令g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，g′（x）=$\frac{2-x}{{x}^{3}}$，
令g′（x）＞0，解得：1≤x＜2，令g′（x）＜0，解得：2＜x≤3，
∴g（x）在[1，2）递增，在（2，3]递减，
∴g（x）_max=g（2）=$\frac{1}{4}$，
故a＞$\frac{1}{4}$，
综上，$\frac{1}{4}$＜a＜4，
故答案为：（$\frac{1}{4}$，4）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．