Question

19．若定义在R上的函数f（x） 满足f（0）=-1，其导函数f′（x） 满足f′（x）＜k＜1，则f（$\frac{1}{k-1}$）与$\frac{1}{k-1}$的大小关系是f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$．

Answer 1

分析 首先要充分利用题设f′（x）＜k＜1的信息，构造出g（x）=f（x）-kx，再对g（x）求导判断其为单调递减函数．

解答 解：由已知条件，构造函数g（x）=f（x）-kx，则g'（x）=f'（x）-k＜0，
故函数g（x）在R上单调递减，且$\frac{1}{k-1}$＜0⇒g（$\frac{1}{k-1}$）＞g（0）
g（0）=f（0）-0=-1；
所以f（$\frac{1}{k-1}$）-$\frac{k}{k-1}$＞-1
∴f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$．
故答案为：f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$

点评 本题主要考查了考生如何构造新函数来判断函数单调性，属于高考常见的题型，考生应熟练且灵活应用．