Question

14．向量$\overrightarrow{m}$=（2sinx，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos²$\frac{x}{2}$-1，cos2x+1），函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$
（1）求函数f（x）的对称轴和对称中心；
（2）△ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，角B为锐角，若f（B）=0，b=2，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积，二倍角公式两角差的余弦函数化简函数的表达式，然后求的对称轴和对称中心；
（2）由（1）化简f（B）=0，根据锐角B的范围求出角B，由余弦定理和基本不等式求出（a+c）的范围，即可求出△ABC周长的最大值．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$
=2sinx•（2cos²$\frac{x}{2}$-1）-$\sqrt{3}$（cos2x+1）
=2sinxcosx-$\sqrt{3}$cos2x-$\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x-$\sqrt{3}$
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$；
（1）令 $2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，
解得$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}$，
故函数f（x）的对称轴为   $x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．
令 $2x-\frac{π}{3}=kπ，k∈Z$，解得$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$，
故函数f（x）的对称中心为    $（\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，-\sqrt{3}），k∈Z$；
（2）$f（B）=2sin（2B-\frac{π}{3}）-\sqrt{3}=0$，即$sin（2B-\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又∵$0＜B＜\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{π}{3}＜2B-\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$，
∴$2B-\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$
即${B}=\frac{π}{3}$．
又b=2，由余弦定理$cos{B}=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，得a²+c²-ac-4=0，
即（a+c）²-3ac-4=0，
∴（a+c）²=3ac+4．
又∵$ac≤{（\frac{a+c}{2}）^2}=\frac{{{{（a+c）}^2}}}{4}$代入上式得${（a+c）^2}=3ac+4≤\frac{{3{{（a+c）}^2}}}{4}+4$
解得（a+c）²≤16，a+c≤4，
即△A BC周长C=a+b+c≤2+4=6（当且仅当a=c=2时等号成立），故△ABC周长的最大值为6．

点评 本题考查余弦定理，基本不等式，正弦函数的性质，以及二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，考查整体思想，属于中档题．