Question

4．已知函数f（x）在实数集R上可导，其导函数为f′（x），若x[f（x）-f′（x）]＞0，f（0）=2，函数g（x）=f（x）-ke^x（e为自然对数的底）存在零点，则　　）

• A． 实数k有最大值2
• B． 实数k有最小值2
• C． 实数k有最大值$\frac{2}{e}$
• D． 实数k有最小值$\frac{2}{e}$

Answer 1

分析 问题转化为求k=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$的最大值，根据函数的单调性求出即可．

解答 解：令g（x）=0，得：k=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∵${[\frac{f（x）}{{e}^{x}}]}^{′}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∴x＞0时，${[\frac{f（x）}{{e}^{x}}]}^{′}$＜0，函数y=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$递减，
x＜0时，${[\frac{f（x）}{{e}^{x}}]}^{′}$＞0，函数y=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$递增，
∴函数y=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$有最大值是$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=2，
即k的最大值是2，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．