Question

14．函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）的性质描述正确的是（　　）

• A． 最大值为2
• B． 周期为π的奇函数
• C． 关于点$（\frac{π}{8}，0）$中心对称
• D． 在$[\frac{3π}{8}，\frac{7π}{8}]$上单调递减

Answer 1

分析 先化简函数，再利用正弦函数的性质求解即可．

解答 解：f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）+1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1，
最大值为$\sqrt{2}$；周期为π，非奇非偶函数．
令2x-$\frac{π}{4}$=kπ（k∈Z），
解得：x=$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$（k∈Z），
∴f（x）的对称中心为（$\frac{π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，1）（k∈Z）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，可得kπ+$\frac{3π}{8}$x≤kπ+$\frac{7π}{8}$，
∴函数在$[\frac{3π}{8}，\frac{7π}{8}]$上单调递减，
故选D．

点评 本题考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，正确化简函数是关键．