Question

5．已知函数$f（x）=\frac{lnx+a}{x}（a∈R）$，若a=1
（1）求f（x）的极值；     
（2）求函数f（x）在区间（0，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1-（lnx+1）}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）_极大值=f（1）=0，无极小值；
（2）由（1）得：f（x）在（0，1）递增，在（1，e]递减，
∴f（x）_最大值=f（x）_极大值=f（1）=0．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．