Question

7．定义在R上的奇函数f（x）对任意两个不相等实数a，b，总有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0成立，则不等式f（m+2）+f（m-6）＞0解集是（2，+∞）．

Answer 1

分析 根据条件及增函数定义即可判断f（x）在R上单调递增，而f（x）为奇函数，从而由不等式f（m+2）+f（m-6）＞0即可得出f（m+2）＞f（6-m），进而得到m+2＞6-m，这样解该不等式即可得出原不等式的解集．

解答 解：根据$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}＞0$，a≠b，a，b∈R知，f（x）在R上单调递增；
又f（x）为奇函数；
∴由f（m+2）+f（m-6）＞0得，f（m+2）＞-f（m-6）=f（6-m）；
∴m+2＞6-m；
解得，m＞2；
∴原不等式的解集为（2，+∞）．
故答案为：（2，+∞）．

点评 考查增函数的定义，根据增函数定义判断一个函数为增函数的方法，奇函数的定义，以及根据增函数定义解不等式的方法．