Question

11．已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=1且a₂，a₄，a₈成等比数列，若${b_n}=\frac{1}{{n（{{a_n}+2}）}}$，则数列{b_n}的前n项和的取值范围是$[{\frac{1}{3}，\frac{3}{4}}）$．

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差d≠0，由a₁=1且a₂，a₄，a₈成等比数列，可得${a}_{4}^{2}$=a₂•a₈，即（1+3d）²=（1+d）（1+7d），d≠0，解得d．可得b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和方法”可得：数列{b_n}的前n项和T_n，再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差d≠0，∵a₁=1且a₂，a₄，a₈成等比数列，∴${a}_{4}^{2}$=a₂•a₈，
∴（1+3d）²=（1+d）（1+7d），化为：d²=d，d≠0，解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴${b_n}=\frac{1}{{n（{{a_n}+2}）}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
则数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$．
∵数列{-$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$}单调递增．
∴T₁≤T_n$＜\frac{3}{4}$．
∴T_n的取值范围是 $[{\frac{1}{3}，\frac{3}{4}}）$．
故答案为：$[{\frac{1}{3}，\frac{3}{4}}）$．

点评 本题考查了“裂项求和法”、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．