Question

已知 

m

=(

3

sinx，cosx），

n

=（cosx，-cosx），x∈R，定义函数f（x）=

m

•

n

-

1

2

（1）求函数f（x）的最小正周期，值域，单调增区间．
（2）设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，且c=

3

，f（C）=0，若向量

d

=（1，sinA）与 

e

=（2，sinB）共线，求边a，b的值及△ABC的面积S？

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积的坐标表示及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解
（2）由f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，及C为△ABC的内角，可求C，然后结合向量共线的坐标表示可得sinB与sinA的关系，根据正弦定理进而可得b与a的关系，最后利用余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即可求解

解答：解：（1）∵f（x）=

m•

n

-

1

2

=

3

sinx•cosx-cos2x-

1

2

 
=

3

2

 sin2x-

1+cos2x

2

-

1

2

=sin(2x-

π

6

)-1 
∴f（x）的最小正周期T=π，值域为[-2，0]，
令2kπ2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

 ⇒kπ+

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，（k∈Z），
∴f（x）的增区间为：[kπ+

π

6

，kπ+

π

3

] （k∈Z），
（2）∵f（x）=sin(2x-

π

6

)-1，f（C）=0，
∴f（C）=sin（2C-

π

6

 ）-1=0，又C为△ABC的内角，
∴C=

π

3

 
又

d

=（1，sinA）与

e

=（2，sinB）共线
∴sinB=2sinA，根据正弦定理得：b=2a①，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即3=a²+b²-ab②，
联立①②，解得a=1，b=2．
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC=

3

2

点评：本题主要考查了向量数量积及向量平行的坐标表示的应用，二倍角公式、辅助角公式等公式在三角函数化简中的应用，正弦定理及余弦定理的综合应用，本题具有一定的综合性