Question

4．△ABC中，S=c²-（a-b）²且a+b=2，求S的最大值．

Answer 1

分析 已知等式左边利用三角形面积公式，右边利用完全平方公式展开，变形后利用余弦定理化简，整理求出cosC的值，即可求出sinC的值，利用三角形面积公式列出关系式，把sinC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，即可求出三角形S的最大值．

解答 解：∵S=c²-（a-b）²，
∴$\frac{1}{2}$absinC=c²-a²-b²+2ab，即$-\frac{1}{4}$sinC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$-1，
由余弦定理可得$-\frac{1}{4}$sinC=cosC-1，
即17cos²C+32cosC+15=0，
分解因式得：（17cosC+15）（cosC+1）=0，
解得：cosC=-$\frac{15}{17}$或cosC=-1（舍去），
则sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{8}{17}$；
∴S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{4}{17}$ab≤$\frac{4}{17}$（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{4}{17}$，
当且仅当a=b=1时“=”成立．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．