Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣logg_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

A．

（，1）

B．

（1，4）

C．

（1，8）

D．

（8，+∞）

Answer 1

考点：

根的存在性及根的个数判断．

专题：

计算题；作图题；函数的性质及应用．

分析：

在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=log_a（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象，结合题意可得到关于a的关系式，从而得到答案．

解答：

解：∵当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，

∴当x∈（0，2]时，﹣x∈[﹣2，0），

∴f（﹣x）=﹣1=﹣1，又f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f（x）=﹣1（0＜x≤2），又f（2+x）=f（2﹣x），

∴f（x）的图象关于直线x=2对称，且f（4+x）=f（﹣x）=f（x），

∴f（x）是以4为周期的函数，

∵在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣log_a（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，

令h（x）=log_a（x+2），即f（x）=h（x）=log_a（x+2）在区间（﹣2，6）内有有4个交点，

在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=log_a（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象，

∴0＜log_a（6+2）＜1，

∴a＞8．

故选D．

点评：

本题考查根的存在性及根的个数判断，求得f（x）的解析式，作出f（x）与h（x）=log_a（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象是关键，考查作图能力与数形结合的思想，属于难题．