【题目】如图,已知椭圆,点B是其下顶点,过点B的直线交椭圆C于另一点A(A点在
轴下方),且线段AB的中点E在直线
上.
(1)求直线AB的方程;
(2)若点P为椭圆C上异于A、B的动点,且直线AP,BP分别交直线于点M、N,证明:OM·ON为定值.
【答案】(1)(2)详见解析
【解析】试题分析:(1)两点确定一条直线,所以只需再确定A点坐标即可,这可利用A在椭圆上及AB中点在直线上联立方程组解得:A(
,
),从而根据两点式求出直线AB的方程为
.
(2)本题涉及的条件为坐标,所以用分别表示M点、N点坐标就是解题方法:由A,P,M三点共线,又点M在直线y=x上,解得M点的横坐标
,由B,P,N三点共线,点N在直线y=x上,,解得N点的横坐标
.所以OM·ON=
=
=2
=,又
,所以OM·ON==
=
=
.
试题解析:解:(1)设点E(m,m),由B(0,-2)得A(2m,2m+2).
代入椭圆方程得,即
,
解得或
(舍). 3分
所以A(,
),
故直线AB的方程为. 6分
(2)设,则
,即
.
设,由A,P,M三点共线,即
,
∴,
又点M在直线y=x上,解得M点的横坐标, 9分
设,由B,P,N三点共线,即
,
∴,
点N在直线y=x上,,解得N点的横坐标. 12分
所以OM·ON==
=2
==
=
=
. 16分
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【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元。设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式。
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值。
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【题目】定义为n个正数
的“均倒数”.已知正项数列{an}的前n项的“均倒数”为
.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设数列的前n项和为
,若4
<
对一切
恒成立试求实数m的取值范围.
(3)令,问:是否存在正整数k使得
对一切
恒成立,如存在求出k值,否则说明理由.
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【题目】在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为 、
、
、
、
;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为
、
、
、
、
.若m、M分别为(
+
+
)(
+
+
)的最小值、最大值,其中{i,j,k}{1,2,3,4,5},{r,s,t}{1,2,3,4,5},则m、M满足( )
A.m=0,M>0
B.m<0,M>0
C.m<0,M=0
D.m<0,M<0
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【题目】如图,在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1.证明直线BC′平行于平面D′AC,并求直线BC′到平面D′AC的距离.
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【题目】设全集为R,函数 的定义域为M,则RM为( )
A.[﹣1,1]
B.(﹣1,1)
C.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)
D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
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【题目】某厂家拟在2019年举行促销活动,经过调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)(单位:万件)与年促销费用
(
)(单位:万元)满足
(
为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件. 已知2019年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).
(1)将该厂家2019年该产品的利润万元表示为年促销费用
万元的函数;
(2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?
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