Question

19．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，S_n=a_n+1+2ⁿ⁺¹+1（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-n•{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n+2}}$+$\frac{1}{2}$，从而可得$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n+2}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=-$\frac{1}{2}$；从而证明{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}从第二项起成等差数列，从而求得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{-\frac{1}{2}n，n≥2}\end{array}\right.$，从而解得．

解答 解：∵S_n=a_n+1+2ⁿ⁺¹+1，
∴S_n+1=a_n+2+2ⁿ⁺²+1，
两式相减可得，
a_n+1=a_n+2-a_n+1+2ⁿ⁺¹，
故2a_n+1=a_n+2+2ⁿ⁺¹，
故$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n+2}}$+$\frac{1}{2}$，
故$\frac{{a}_{n+2}}{{2}^{n+2}}$-$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=-$\frac{1}{2}$；
∵a₁=1，
∴a₂=1-5=-4，a₃=-3-9=-12，
∴$\frac{{a}_{1}}{2}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{2}}{4}$=-1，$\frac{{a}_{3}}{8}$=-$\frac{3}{2}$；
故{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}从第二项起成等差数列，
故$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{-\frac{1}{2}n，n≥2}\end{array}\right.$，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-n•{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$；
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{-n•{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列的前n项和与通项公式的应用及分类讨论的思想应用．