Question

1．二次函数y=ax²+（b-8）x-a-ab，当-3＜x＜2时，y＞0，当x＜-3或x＞2时y＜0．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求y=ax²+（b-8）x-a-ab在0≤x≤1时y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得-3和2是ax²+（b-8）x-a-ab=0的实根，运用韦达定理，解方程可得a，b的值，进而得到二次函数的解析式；
（2）求得二次函数的对称轴，可得[0，1]为减区间，求出最值，可得函数y的取值范围．

解答 解：（1）当-3＜x＜2时，y＞0，当x＜-3或x＞2时y＜0，
可得-3和2是ax²+（b-8）x-a-ab=0的实根，
即有-3+2=$\frac{8-b}{a}$，-3×2=1-b，
解得a=-3，b=5，
可得二次函数y=-3x²-3x+18；
（2）y=-3x²-3x+18=-3（x²+x-6），
对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
区间[0，1]在对称轴的右边，[0，1]为减区间，
可得x=0时，取得最大值18；x=1时，取得最小值12．
则y的取值范围为[12，18]．

点评 本题考查二次函数和二次方程、二次不等式的关系，考查转化思想的运用，以及韦达定理和二次函数在闭区间上的最值的求法，考查运算能力，属于基础题．