Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，且是正三角形，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）证明四边形是平行四边形可推出，即可证明线面平行；（2）作出线面角，通过解三角形知识求解或建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解.

（1）证明：取的中点，连接，

因为是的中位线，所以，且，

因为，所以且，

则四边形是平行四边形，所以，

又因为平面平面，

所以平面.

（2）解法一：取的中点，连接，

因为是正三角形，所以，

在直角梯形中，因为，

所以可得，且

又，平面，平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面，

过点作，垂足是，连接，

则即是直线与平面所成的角，

在中，，可得，

所以，又，

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值是.

解法二：如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，

由已知条件得，

所以，

设，由

得.

所以，

设平面的法向量，

则即得平面的一个法向量是，

可得，则，

设直线与平面所成角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值是.